|
ریاضی دهم صفحه 128 - تمرین 1
۱) مانند نمونه هر قسمت را کامل کنید.
الف) $$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 6 \times 5!$$
ب) $$8!$$
پ) $$10!$$
ت) $$n!$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 128 - تمرین 1
سلام به دانشآموزان عزیز! در این تمرین میخواهیم با مفهوم **فاکتوریل** و یکی از ویژگیهای مهم آن آشنا شویم. فاکتوریل یک عدد طبیعی یعنی حاصلضرب آن عدد در تمام اعداد طبیعی کوچکتر از خودش تا عدد یک.
**ویژگی بازگشتی فاکتوریل:** ما میتوانیم یک فاکتوریل بزرگ را برحسب یک فاکتوریل کوچکتر بنویسیم. به حل زیر دقت کنید:
* **ب) $$8!$$:**
$$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 8 \times 7!$$
(در واقع از عدد ۸ شروع کردیم و بقیه حاصلضرب را به صورت $$7!$$ نوشتیم).
* **پ) $$10!$$:**
$$10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 10 \times 9!$$
حتی میتوانیم بنویسیم: $$10 \times 9 \times 8!$$.
* **ت) $$n!$$:**
این فرمول کلی است. برای هر عدد $$n$$ داریم:
$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 = n \times (n-1)!$$
**نکته آموزشی:** این تکنیک برای ساده کردن کسرها در محاسبات احتمال بسیار پرکاربرد است.
ریاضی دهم صفحه 128 - تمرین 2
۲) حاصل عبارتهای زیر را به دست آورید.
الف) $$\frac{5!}{4!}$$ | ب) $$\frac{10!}{9!}$$ | پ) $$\frac{n!}{(n-1)!}$$
ت) $$\frac{8!}{6!}$$ | ث) $$\frac{10!}{8!}$$ | ج) $$\frac{n!}{(n-2)!}$$
چ) $$\frac{8!}{5!}$$ | ح) $$\frac{10!}{7!}$$ | خ) $$\frac{n!}{(n-3)!}$$
د) $$\frac{n!}{(n-4)!}$$ | ذ) $$\frac{n!}{(n-5)!}$$ | ر) $$\frac{n!}{(n-k)!}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 128 - تمرین 2
در این بخش یاد میگیریم چطور بدون انجام ضربهای طولانی، کسر فاکتوریل را ساده کنیم. روش کار این است: **فاکتوریل بزرگتر را تا رسیدن به فاکتوریل کوچکتر باز میکنیم** و سپس آنها را با هم ساده میکنیم.
**مثالهای عددی:**
* **الف)** $$\frac{5!}{4!} = \frac{5 \times 4!}{4!} = 5$$
* **ت)** $$\frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56$$
* **ح)** $$\frac{10!}{7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$$
**مثالهای جبری (بسیار مهم):**
* **پ)** $$\frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n \times (n-1)!}{(n-1)!} = n$$
* **ج)** $$\frac{n!}{(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} = n(n-1)$$
* **ر) فرمول کلی:** $$\frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)$$
**نکته کلیدی:** همیشه در کسرها، فاکتوریل صورت را آنقدر باز کنید تا با فاکتوریل مخرج همشکل شود.
ریاضی دهم صفحه 128 - تمرین 3
۳) حاصل ضربهای زیر را مانند نمونه با استفاده از نماد فاکتوریل نمایش دهید.
الف) $$9 \times 8 = \frac{9!}{7!}$$
ب) $$9 \times 8 \times 7 \times 6$$
پ) $$11 \times 10 \times 9$$
ت) $$8$$
ث) $$n(n-1)$$
ج) $$n(n-1)(n-2)(n-3)$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 128 - تمرین 3
این تمرین برعکس تمرین قبلی است. ما میخواهیم یک حاصلضرب را به فرم کسر فاکتوریل بنویسیم. قانون کلی این است: **(بزرگترین عدد)! تقسیم بر (عددی که یک واحد از کوچکترین عدد کمتر است)!**
* **ب) $$9 \times 8 \times 7 \times 6$$:**
بزرگترین عدد ۹ و کوچکترین عدد ۶ است. یک واحد کمتر از ۶ میشود ۵.
پاسخ: $$\frac{9!}{5!}$$
* **پ) $$11 \times 10 \times 9$$:**
بزرگترین عدد ۱۱ و کوچکترین ۹ است. یک واحد کمتر از ۹ میشود ۸.
پاسخ: $$\frac{11!}{8!}$$
* **ث) $$n(n-1)$$:**
در اینجا بزرگترین عبارت $$n$$ است. عبارت بعد از $$(n-1)$$ که یک واحد کمتر باشد، $$(n-2)$$ است.
پاسخ: $$\frac{n!}{(n-2)!}$$
* **ج) $$n(n-1)(n-2)(n-3)$$:**
بزرگترین $$n$$ و کوچکترین $$(n-3)$$ است. یک واحد کمتر از مخرج میشود $$(n-4)$$.
پاسخ: $$\frac{n!}{(n-4)!}$$
